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<!DOCTYPE html>

<title>Zweipunkteform</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Zweipunkteform</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>Zweipunkteform</b> oder <b>Zwei-Punkte-Form</b> ist in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> eine spezielle Form einer <a href="Geradengleichung" title="Geradengleichung">Geradengleichung</a>. In der Zweipunkteform wird eine <a href="Gerade" title="Gerade">Gerade</a> in der <a href="Euklidische_Ebene" class="mw-redirect" title="Euklidische Ebene">euklidischen Ebene</a> oder im <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen Raum</a> mit Hilfe zweier <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkte</a> der Geraden bzw. deren Koordinaten dargestellt. Mithilfe der Zweipunkteform lässt sich relativ leicht eine Geradengleichung aufstellen, wenn zwei Punkte der Geraden bekannt sind.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Die Koordinatendarstellung einer Gerade in der Ebene erfolgt in der Zweipunkteform mit Hilfe der Steigung der Geraden, wobei diese mithilfe der Koordinaten der beiden Punkte berechnet wird. In Vektordarstellung dient der <a href="Ortsvektor" title="Ortsvektor">Ortsvektor</a> eines der beiden Punkte als <a href="St%C3%BCtzvektor" class="mw-redirect" title="Stützvektor">Stützvektor</a> der Gerade, während der Differenzvektor zu dem Ortsvektor des anderen Punkts den <a href="Richtungsvektor" class="mw-redirect" title="Richtungsvektor">Richtungsvektor</a> der Gerade bildet.

</p><p>Die der Zweipunkteform entsprechende Form einer <a href="Ebenengleichung" title="Ebenengleichung">Ebenengleichung</a> wird <a href="Dreipunkteform" title="Dreipunkteform">Dreipunkteform</a> genannt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Koordinatendarstellung">Koordinatendarstellung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Darstellung">Darstellung</h3></div>

<p>In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der Ebene, die durch die beiden verschiedenen Punkte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},y_{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},y_{1})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fc74086e56542bd28b46a84faaee3cebdd4a899.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.421ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},y_{1})}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{2},y_{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{2},y_{2})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d52d44e16a796acee486af49af05f678566d181a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.421ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{2},y_{2})}" loading="lazy"></span> verläuft, als die Menge derjenigen Punkte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}" loading="lazy"></span> beschrieben, deren Koordinaten die <a href="Gleichung" title="Gleichung">Gleichung</a>

</p>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5370cf884fcbc0e92831e9d18454c02c5a965412.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:18.933ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>erfüllen. Hierbei muss <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae809ae1f500b6f959ee08a5895ed2545ceb6827.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.866ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}" loading="lazy"></span> sein und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> darf nicht gleich <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1}}" loading="lazy"></span> gewählt werden. Wird die Geradengleichung nach <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"></span> aufgelöst, erhält man die explizite Darstellung

</p>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})+y_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fcee982c3b626f8b2685fe04e7f50aea7cdad42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:27.775ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle y={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})+y_{1}}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=x_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2bdf4f9973d3d0c15948ee465d462b13151563d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.812ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x=x_{1}}" loading="lazy"></span> verwendet werden kann. Durch Multiplikation mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{2}-x_{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{2}-x_{1})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fbe8342a4f7e2d8517c76be5175497a408faa78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{2}-x_{1})}" loading="lazy"></span> erhält man eine Darstellung, die ohne Einschränkung gültig ist:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (y-y_{1})\cdot (x_{2}-x_{1})=(x-x_{1})\cdot (y_{2}-y_{1})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01bbf434dcdc49fca0a6089944170a8f2f5203f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.273ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (y-y_{1})\cdot (x_{2}-x_{1})=(x-x_{1})\cdot (y_{2}-y_{1})}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3></div>

<p>Sind beispielsweise die beiden gegebenen Geradenpunkte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,3)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,3)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c80e593e3953231c56d0887f5b247bbe517461f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,3)}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (3,2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (3,2)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91b94c79f54c9c5fa31d2378ad052f8a662f1391.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (3,2)}" loading="lazy"></span>, so erhält man als Geradengleichung

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {y-3}{x-1}}=-{\frac {1}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19d0ef6f5f8608f65fc50b346f90c65da83822e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.074ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {y-3}{x-1}}=-{\frac {1}{2}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>oder aufgelöst nach <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"></span>

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=-{\frac {1}{2}}\cdot (x-1)+3}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11bea1afaac794ae3fb1fe7e30715158e000b97d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:20.884ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle y=-{\frac {1}{2}}\cdot (x-1)+3}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>beziehungsweise

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2(y-3)=-(x-1)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18a09f315c9da664829b76f61639cb46497b219b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.179ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2(y-3)=-(x-1)}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Herleitung">Herleitung</h3></div>

<p>Diese Darstellung einer Geradengleichung folgt daraus, dass für die <a href="Steigung" title="Steigung">Steigung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"></span> einer Gerade

</p>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ed4dd17de25d1380161f920135e18d70555fbeb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.583ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>gilt. Nach dem <a href="Strahlensatz" title="Strahlensatz">Strahlensatz</a> kann nun anstelle des Punkts <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{2},y_{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{2},y_{2})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d52d44e16a796acee486af49af05f678566d181a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.421ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{2},y_{2})}" loading="lazy"></span> ein beliebiger Geradenpunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)}" loading="lazy"></span> gewählt werden, ohne dass sich das <a href="Quotient" title="Quotient">Verhältnis</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"></span> verändert. Damit gilt dann auch

</p>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m={\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59b7d803aab5bc7e24e198364d6d4e3ddbcb9280.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:12.529ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle m={\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Durch Gleichsetzen dieser beiden Gleichungen folgt daraus dann die Zweipunkteform. Letztere Gleichung entspricht der <a href="Punktsteigungsform" title="Punktsteigungsform">Punktsteigungsform</a> einer Geradengleichung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Darstellung_als_Determinante">Darstellung als Determinante</h3></div>

<p>Eine Gerade, die durch zwei vorgegebene Punkte verläuft, kann mit Hilfe der <a href="Determinante" title="Determinante">Determinante</a> einer <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a> auch über die Gleichung

</p>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}x&x_{1}&x_{2}\\y&y_{1}&y_{2}\\1&1&1\end{pmatrix}}=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96059bef94ad1ea808fd6d510329c12db1895820.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:23.439ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}x&x_{1}&x_{2}\\y&y_{1}&y_{2}\\1&1&1\end{pmatrix}}=0}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>oder äquivalent dazu durch

</p>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}x-x_{1}&x_{2}-x_{1}\\y-y_{1}&y_{2}-y_{1}\end{pmatrix}}=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d6202676918640a19fe64041b943cb9a90be95e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.535ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}x-x_{1}&x_{2}-x_{1}\\y-y_{1}&y_{2}-y_{1}\end{pmatrix}}=0}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>definiert werden. Eine solche Darstellung wird auch als <i>Determinantenform</i> einer Geradengleichung bezeichnet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vektordarstellung">Vektordarstellung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Darstellung_2">Darstellung</h3></div>

<p>In Vektordarstellung wird eine Gerade in der Ebene in der Zweipunkteform durch die Ortsvektoren <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {q}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {q}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a4e063f8ee7dae2488859c45a4e645db5148085.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.309ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {q}}}" loading="lazy"></span> zweier Punkte der Gerade beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}" loading="lazy"></span> die Gleichung

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+t({\vec {q}}-{\vec {p}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df6260efcc2e21e7bd88e24e3e30921bf3d27b08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.717ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+t({\vec {q}}-{\vec {p}})}" loading="lazy"></span>   für   <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/592bced0c39b10fc90e74c6a66223abfbfb029de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.358ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t\in \mathbb {R} }" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>erfüllen. Der Vektor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}" loading="lazy"></span> dient dabei als Stützvektor der Gerade, während der Differenzvektor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {q}}-{\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {q}}-{\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/075f80c37ecd0d8169345b79e24ad3897e5c63b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.474ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {q}}-{\vec {p}}}" loading="lazy"></span> den Richtungsvektor der Gerade bildet. Die Punkte der Gerade werden dabei in Abhängigkeit von dem Parameter <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> dargestellt, wobei jedem Parameterwert genau ein Punkt der Gerade entspricht. Damit handelt es sich hier um eine spezielle <a href="Parameterdarstellung" title="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</a> der Gerade.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel_2">Beispiel</h3></div>

<p>Ausgeschrieben lautet die Zweipunkteform einer Geradengleichung

</p>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{x}\\p_{y}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}q_{x}-p_{x}\\q_{y}-p_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{x}+t(q_{x}-p_{x})\\p_{y}+t(q_{y}-p_{y})\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c62cafde09455c95ccfaef74438e18637cec9bb1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:52.854ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{x}\\p_{y}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}q_{x}-p_{x}\\q_{y}-p_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{x}+t(q_{x}-p_{x})\\p_{y}+t(q_{y}-p_{y})\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/592bced0c39b10fc90e74c6a66223abfbfb029de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.358ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t\in \mathbb {R} }" loading="lazy"></span>. Sind beispielsweise die beiden Ortsvektoren <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}={\tbinom {2}{2}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}={\tbinom {2}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/405c005f6429d7c8e823a0abade62964a3abf788.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:7.465ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}={\tbinom {2}{2}}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {q}}={\tbinom {4}{1}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {q}}={\tbinom {4}{1}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2dd3a11cb0d802613f147bc1e3344a2a23e86497.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.359ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {q}}={\tbinom {4}{1}}}" loading="lazy"></span>, so erhält man als Geradengleichung

</p>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4-2\\1-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2+2t\\2-t\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e24f1c663df9710117ca08b4e5f4b533e4a5d342.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.23ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4-2\\1-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2+2t\\2-t\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span>, beispielsweise <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=2}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f76b791ec417942f6edf35e33b99613ca6cbaa04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=2}" loading="lazy"></span> oder <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=-1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7604dc9aaf097ba00278a7dc051cc3c72d228b6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.909ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t=-1}" loading="lazy"></span>, ergibt dann einen Geradenpunkt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Berechnung">Berechnung</h3></div>

<p>Aus der <a href="Parameterform#Parameterform_einer_Geradengleichung" title="Parameterform">Parameterform einer Geradengleichung</a> mit Stützvektor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}" loading="lazy"></span> und Richtungsvektor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {u}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89c41e9cf70c5e5b56e2128a136985a75f90ba43.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}}" loading="lazy"></span> lässt sich neben dem Stützvektor ein weiterer Ortsvektor eines Punkts der Gerade einfach durch Wahl von

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {q}}={\vec {p}}+{\vec {u}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e535cd4ab2312a1b1b7ed00cb97cea34c627cfb8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.902ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {q}}={\vec {p}}+{\vec {u}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>finden. Aus den weiteren Formen von Geradengleichungen, der <a href="Koordinatenform#Koordinatenform_einer_Geradengleichung" class="mw-redirect" title="Koordinatenform">allgemeinen Koordinatenform</a>, der <a href="Achsenabschnittsform#Achsenabschnittsform_einer_Geradengleichung_in_der_Ebene" title="Achsenabschnittsform">Achsenabschnittsform</a>, der <a href="Normalenform#Normalenform_einer_Geradengleichung" title="Normalenform">Normalenform</a> und der <a href="Hessesche_Normalform#Hessesche_Normalform_einer_Geradengleichung" title="Hessesche Normalform">hesseschen Normalform</a>, wird zunächst die zugehörige Parameterform der Gerade ermittelt (siehe <a href="Parameterform#Berechnung" title="Parameterform">Berechnung der Parameterform</a>) und daraus dann die Zweipunkteform.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Homogene_Koordinaten">Homogene Koordinaten</h3></div>

<p>Eine verwandte Darstellung einer Gerade mit Hilfe zweier Geradenpunkte verwendet <a href="Baryzentrische_Koordinaten" title="Baryzentrische Koordinaten">baryzentrische Koordinaten</a>. Eine Gerade in der Ebene wird dann durch die Gleichung

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}=\lambda {\vec {p}}+\mu {\vec {q}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7828708f725dc0f5c607ab57b56af52bdfa7819.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.659ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}=\lambda {\vec {p}}+\mu {\vec {q}}}" loading="lazy"></span>   für   <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c22a31ada955d8802f7ae3e851654650318e8627.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.31ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }" loading="lazy"></span>   mit   <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda +\mu =1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda +\mu =1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a79408f89e4b455dc54cd948a7d214d6c12c548.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.858ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \lambda +\mu =1}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>beschrieben. Hierbei sind <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\lambda ,\mu )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\lambda ,\mu )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba8cdbd5709dd03200b2d3a796bf19a9f8be7482.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.6ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\lambda ,\mu )}" loading="lazy"></span> die normierten baryzentrischen Koordinaten eines Geradenpunkts. Sind beide Koordinaten positiv, so liegt der Geradenpunkt zwischen den beiden vorgegebenen Punkten, ist eine Koordinate negativ, außerhalb. Bei den baryzentrischen Koordinaten handelt es sich um spezielle <a href="Homogene_Koordinaten" title="Homogene Koordinaten">homogene</a> <a href="Affine_Koordinaten" title="Affine Koordinaten">affine Koordinaten</a>, während in der Zweipunkteform inhomogene affine Koordinaten verwendet werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verallgemeinerung">Verallgemeinerung</h3></div>

<p>Allgemein lassen sich durch die Zweipunkteform nicht nur Geraden in der Ebene, sondern auch in drei- und höherdimensionalen Räumen beschreiben. Im <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span>-dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Gerade entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}" loading="lazy"></span> die Gleichung

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+t({\vec {q}}-{\vec {p}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df6260efcc2e21e7bd88e24e3e30921bf3d27b08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.717ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+t({\vec {q}}-{\vec {p}})}" loading="lazy"></span>   für   <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/592bced0c39b10fc90e74c6a66223abfbfb029de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.358ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t\in \mathbb {R} }" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>erfüllen. Es wird dabei lediglich mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span>-komponentigen statt zweikomponentigen Vektoren gerechnet. Auch die Darstellung mit baryzentrischen Koordinaten bleibt in höherdimensionalen Räumen in analoger Form erhalten.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Lothar Papula: <cite style="font-style:italic">Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1</cite>. Springer, 2007, ISBN 978-3-8348-0224-8.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zweipunkteform&rft.au=Lothar+Papula&rft.btitle=Mathematik+f%C3%BCr+Ingenieure+und+Naturwissenschaftler+1&rft.date=2007&rft.genre=book&rft.isbn=9783834802248&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li>

<li>Thomas Westermann: <cite style="font-style:italic">Mathematik für Ingenieure</cite>. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-77731-1.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zweipunkteform&rft.au=Thomas+Westermann&rft.btitle=Mathematik+f%C3%BCr+Ingenieure&rft.date=2008&rft.genre=book&rft.isbn=9783540777311&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Andreas_Filler" title="Andreas Filler">Andreas Filler</a>: <cite style="font-style:italic">Elementare Lineare Algebra</cite> (= <cite style="font-style:italic">Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II</cite>). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-8274-2412-9, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>51</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zweipunkteform&rft.au=Andreas+Filler&rft.btitle=Elementare+Lineare+Algebra&rft.date=2011&rft.genre=book&rft.isbn=9783827424129&rft.pages=51&rft.place=Heidelberg&rft.pub=Spektrum+Akademischer+Verlag&rft.series=Mathematik+Primarstufe+und+Sekundarstufe+I+%2B+II" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>